连续映射
拓扑空间的一类重要映射
条目
连续映射（continuous mapping[1]）是拓扑空间的一类重要映射，[2]其在度量空间中的定义可用ε—δ语言描述，分为一点连续与定义域连续两个阶段；[15]在拓扑空间中，它可以用邻域来定义。[6]
连续映射的概念起源于一般拓扑学和代数拓扑学的兴起。1910年前后，法国数学家费雷歇（Fréchet，Maurice-René）开始考虑抽象空间的连续映射。[2]几乎同一时期，法国数学家亨利·庞加莱（Jules Henri Poincaré）也提出了将拓扑问题转化为代数问题来解决的思想，连续映射的代数定义随之形成。[3] 1910-1912年，荷兰数学家布劳威尔（L. E. J. Brouwer）提出用单纯映射逼近连续映射的方法，并开创了不动点理论。[4]1933年，胡尔维茨（W.Hurewicz）定义了高维同伦群并研究了其连续性。[16]后来，在1940年密歇根大学的拓扑学会议上，艾伦伯格（Samuel Eilenberg）以简洁的形式阐述了连续映射扩张阻碍的所有基本性质，使不同形式的阻碍理论有了统一的标准。[5]
从几何意义上看，连续映射保持了图形的完整 性，图形在变换过程中不会破裂，但可能会出现“粘连”现象。[17]连续映射具备多种等价定义，如设
是连续映射，则
的任一开集在
下的原像是
的开集。[14]该定义可以作为连续性的判定定理。[10]常见的连续映射有等距同构映射、拓扑同构映射、压缩映射等。[10]当逆映射也连续时，得到同胚映射，它是连续映射的特例。[18]在压缩映射与非压缩映射中，关于连续映射的不动点定理成立，[10][11]定理还可以推广到半连续映射上。[12]此外，连续映射在现实世界中应用广泛，如在材料学中，独立连续映射法应用于拓扑优化，让复合材料发挥更高的可设计性潜力。[7]