同伦

代数拓扑概念之一
同伦（英语：Homotopic）是代数拓扑的一个基本概念，描述了两个拓扑空间之间的“连续变化”。如果两个拓扑空间可以通过一系列连续的形变从一个变到另一个，那么这两个空间同伦。同伦的概念不仅适用于空间，还适用于映射：如果两个定义在拓扑空间之间的连续函数可以通过连续形变互相转换，则这两个函数称为同伦的。同伦的一个重要应用是在定义同伦群和上同伦群，它们是代数拓扑中的重要不变量。

定义

设X和Y都是拓扑空间，f和g是X到Y的连续映射。如果存在连续映射H：X×I→Y，使得对任何x∈X，H(x,0)=f(x)，H(x,1)=g(x)，则称f与g同伦，并称H是连接f和g的一个同伦。这里I=[0,1]。如果我们将H的第二个参数视作时间，这样H描述了一个从f到g的连续形变过程：在时间0时刻我们得到函数f，在时间1时刻我们得到函数g。
如果存在连续映射f：X→Y和g：Y→X，使得g·f与恒同映射idx：X→X同伦，f·g与恒同映射idy：Y→Y同伦，则称X与Y同伦等价。称f和g是同伦等价映射，g是f的一个同伦逆。
同伦