集合
创立于19世纪的数学概念
条目
集合（英文：set），简称集，是集合论的主要研究对象。一般地，集合是将一些对象放在一起作为一个整体来考虑，组成集合的对象称为这个集合的元素或简称元。[2][4]
集合思想可以追溯到古希腊的原子论学派，他们将直线看成一些原子的排列。到了16世纪，伽利略发现正整数可以同正整数的平方构成一一对应，当时无穷集合的这一性质被看成与“整体大于部分”这一公理相悖，而称为伽利略悖论。19世纪初，在傅里叶、黎曼、狄利克雷等人的工作中，已经出现了由具有某些共同性质的点或函数构成的集合。1851年，波尔查诺发表的《无穷悖论》建立集合等价的概念。1870年，康托尔开始研究“函数的三角级数表示的惟一性问题”，并在1871年至1872年，他把三角级数展开的惟一性条件推广到允许例外值成为无穷集的情况，明确提出了点集、点集的导集、导集的导集等由实数构成的愈来愈复杂的集合。1873年，康托尔已证明了实数集是不可数的。而且在1874年，康托尔提出集合的定义。此后，集合成了明确独立的数学研究对象，集合论这个新的数学学科从此诞生。自集合的概念出现后，又出现了子集、幂集、交集、并集、笛卡儿积、关系、映射等一系列概念，后来一些数学家发现经研究发现集合的概念过于一般，产生了一些悖论，这些悖论促进了数学家用公理化方法对集合的概念予以合理的限制，并得到现今通用的策梅洛-弗兰克尔公理系统。[2][3]
集合的类型有空集、全集、无序对、单元集、有序对、集族等，[9][10]集合与元素的特点有4种，例如一个集合中的不同元素是可区别的，是彼此独立的单体。[2]集合间的关系有子集、并集、集合的相等以及幂集等。[11][12]集合的表达方法有三种，分别是列举法、描述法、图示法。[13]集合的运算又可以分为交运算、并运算、补运算、减运算、对称差、叉运算等，其中并运算和交运算可以推广至集合的广义并与广义交。[14][15]