全矩阵环
由矩阵构成的一类有零因子的非交换环
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1854年，英国数学家凯莱（A.Cayley）[7]在一篇关于（有限）抽象群的文章中给出（实数或复数上）群代数的定义，注意到矩阵的代数运算的乘法一般是不可交换的，并在1858年发表的论文《矩阵论的研究报告》中，定义了矩阵的一系列基本概念。[3][8]环论源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金（J.W.Dedekind）、哈密顿（W.R.Hamilton）等人对超复数系的建立和研究。[9]随后，矩阵论与环论相结合，全矩阵环的概念被引入，构成了非交换环理论的实践基础。20世纪后，受到埃米·诺特（E.Noether）关于交换环升链工作的影响，阿廷（E.Artin）于1927年证明了阿廷环能分解为单环的直和，单环是可除环上的矩阵环，推广了韦德伯恩（J.H.M.Wedderburn）关于代数的结构定理，并将非交换环的理论推向成熟。[2][10]
全矩阵环的基[11]、理想（极大理想）、同构关系[12]具有一些特殊的性质，如若
为环
的一个理想，则
为
的理想。[13][14]关于域上恒等式和中心多项式的一些相关结论，对于无零因子环上全矩阵环，结论仍然成立。[5]全矩阵环的研究常和离散数学中的图论相结合，可得到有限域上全矩阵环的交换图、剩余类环上全矩阵环的拟零因子图等推广结论。[15][16]在现实世界中，全矩阵环上的矩阵乘法是施特拉森算法的计算基础，当矩阵阶数大时，该算法能有效减少计算的工作量。[4]