费马小定理
费马于1640年提出的初等数论的定理
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历史版本
费马小定理（英文：Fermat small theorem），简称费马定理，是初等数论的重要定理。[1]该定理表述为：若p是个素数，a是不能被p整除的整数，则p整除ap-1-1。[7]此外，从同余的角度也能对该定理进行表述。[8]
1637年，法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）在阅读古希腊数学家丢番图（Diophantus）所著的《算术》译本过程中，对素数和整数的可除性问题进行了研究工作，后于1640年10月18日，费马在一封写给德·贝西（B.F.de Bessy）的信中给出了费马小定理，但并未作出相关证明。[2]德国数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz）[12]在1683年未发表的一篇手稿中，给出了费马小定理的早期证明。[13]1736年，瑞士数学家欧拉（L.Euler）正式发表了费马小定理的第一个证明，并于1760年对它进行了推广。[3]后来，德国数学家高斯（C.F.Gauss）在1801年发表的著作《算术研究》一书中，给出了同余的符号，并用同余式简捷地证明了费马小定理。[1][4]在东方，中国清代数学家李善兰在1872年著成的《考数根法》一书中也证明了费马小定理，并指出它的逆命题不真。[5]20世纪，费马小定理出现在亨塞尔（K.Hensel）的书中，与有限群有关。[6]
费马小定理可由多种方法证明，如数学归纳法[8]、欧拉定理证法[10]、周期点证法。[11]由费马小定理可得出伪素数的概念，[10]它还可用于判断数的整除性[14]和求解不定方程。[15]此外，费马小定理在现实世界中具有广泛的应用价值，如密码学中，RSA公开密钥算法的基础理论就是依据数论中的费马小定理来对大数进行质因数分解。[16]
定理内容
费马小定理：若
是个素数，
为整数，若
，则
整除
。[7]