理想（英文：ideal），[1]是环论的基本概念之一。设R是一个环，I是R的一个非空子集，如果I对于减法封闭，并且I具有“吸收性”，则称I是R的一个理想或双边理想。[5][8] 环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金（Dedekind）、哈密顿（Hamilton）等人对超复数系的建立和研究。1832年，卡尔·弗里德里希·高斯（英语：Carl Friedrich Gauss,1777~1855）[9]为解决高次互反律问题引进复整数（或高斯整数），由全部复整数构成的集合是复整数环。[2]1844年，库默尔（Kummer）在高斯等人研究工作的基础上，引进理想数的概念，实现了唯一因子分解，解决了高次互反律的问题。1871年，戴德金引进理想，理想成为一种集合和计算对象，是代数整数环中的特殊的子环，同时标志着理想理论的诞生。数学家埃米·诺特（Noether Emmy）[10]分别在1921年和1927年发表论文《环中的理想论》和《代数数域和代数函数域上理想论的抽象结果》，建立环的理想理论。[3][4] 理想是代数整数环中的特殊的子环，[3]它与多项式环[11]、整环[12]以及诺特环[13]的定义密切相关。由理想的互素可以判断环的性质，理想与环的同构、同态性有关。[5]特殊的理想包括素理想、极大理想、幂零理想等。[14][15]理想在现实世界中具备广泛的应用价值，如计算机科学中，多项式理想的变元组判定准则是一种新型算法。[7][16] 定义
环