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  • 三角形

    由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成封闭图形叫做三角形。三角形的内角和为180度。 平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形,三条直线所围成的图形叫平面三角形;三条弧线所围成的图形叫球面三角形,也叫三边形。

    编辑摘要

    基本信息 编辑信息模块

    中文名: 三角形 英文名: ZiMintion;triangle
    定义: 三条线段首尾顺次连接的图形
    分类方法: 边、角 学科: 数学
    包括: 锐角、钝角、直角

    目录

    三角形的基本定义/三角形 编辑

    由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的{封闭图形}叫做三角形。三角形的内角和为180度。由 {平面}上的三条直线所围成的图形,叫{平面三角形};由球面上(凹面;凸面)的三条弧线所围成的图形,叫{球面三角形},也叫做{三边形}

    三角形三角形

    分类/三角形 编辑

    按角度分

    a.{锐角三角形}:三个角都小于90度 。(其并不是只有一个锐角的三角形,而是三个角都为锐角,比如{等边三角形“也是锐角分别为60度的{三角形}。 并且其3条边上的3条‘高’交于一点。

    b.直角三角形(简称 ‘ Rt 三角形 ’):

    (1)直角三角形两个锐角‘互余’(‘其之和为90度’之意);

    (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

    (3)在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.;

    (4)在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°(和⑶相反);

    (5)在直角三角形中,两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2(勾股定理);

    (6)斜边上的中线是外接圆半径;

    (7)有一个角是90度的三角形,夹90度的两边称为“直角边”,直角的对边称为“斜边”。 (非直角三角形也称斜三角形,包括锐角三角形、钝角三角形)。

    (8)在直角三角形中,斜边的长度是直角对应的两条直角边的2^1/2倍。

    (9)直角三角形的两条高是那两条直角边。

    c.钝角三角形:有一个角为钝角的三角形 。钝角三角形有两条高在钝角三角形的外面,钝角为大于90°且小于180°,并有两条高不在三角形里面。

    d.正三角形:三个角度数相等(即三角都为60度),三条边也相等,也称等边三角形。

    按边长分

    a.等腰三角形:两条边相等的三角形。又可分为三条边都相等的等腰三角形,即等边三角形,和只有两条边相等的等腰三角形。普通等腰三角形中,两条相等的边称为“腰”,第三边叫做“底边”,腰对应的角(称为底角)也是相等的。

    b.不等边三角形:三条边均不相等的三角形(此解释有误,因为等腰三角形也不是等边三角形,应改为:三条变不均相等的三角形。)。

    特殊三角形

    面积为零的三角形;退化三角形(‘退化三角形’,按照狭义的三角形定义,其实已经不属于三角形。例如一个内角变化为180度就成为一条线段,但是可以证明“两点之间直线最短”公理)

    周长公式

    三角形(三角形周长C)

    若一个三角形的三边分别为a、b、c,则周长C为


    面积公式/三角形 编辑

    1、面积

    三角形三角形

    (面积=底×高÷2。其中,a是三角形的底,h是底所对应的高)注释:三边均可为底,应理解为:三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。

    2、

    三角形(三角形面积)

    (其中,三个角为∠A,∠B,∠C,对边分别为a,b,c。参见三角函数)

    3、

    三角形三角形

    ( ‘l’为高所在的边的中位线)

    4

    三角形(三角形面积)

    (海伦公式),其中

    5

    三角形三角形

    (其中,R是外接圆半径)

    6 (其中,r是内切圆半径)

    三角形(三角形面积)

    7 在平面直角坐标系内,A(a,b),B(c,d),C(e,f)构成之三角形面积为

    A,B,C三点最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小。

    8

    三角形三角形

    (正三角形面积公式,a是三角形的边长)

    9

    三角形三角形

    (其中,R是外接圆半径;r是内切圆半径)

    10

    三角形(三角形面积)

    “四线”/三角形 编辑

    1、中线

    连接某一个三角形的‘一个顶点及顶点相对应的对边的中点’得到的线段,叫做{三角形的中线}(median)。其有3条。

    2、高

    从一个顶点向它的对边所在的直线画{垂线},顶点和垂足之间的{线段}的长,叫做{三角形的高}(altitude)。其有3条。

    3、三角形的角平分线

    在三角形中,其某一个内角的平分线的顶点,与此{被分的角}的顶点重合,在角的两条边中间, 是一条{射线};此上面的实用的点,分别到两条边的距离相等;叫做{角平分线}【另外,数学也有{非三角形的两条线组成的角}的角平分线(bisector of angle)原理一样。其有3条。

    4、中位线

    三角形的三边中,任意两边的中点,的连线叫{中位线}。它平行于第三边,并且等于第三边的一半。[切记,中位线没有逆定理。]

    边、角关系/三角形 编辑

    三角函数,给出了直角三角形中边和角的关系规律,可用来解‘三角形题’;

    三角函数,是数学中属于初等函数中,超越函数的一类。(请参考相关词条)。

    特殊点、线/三角形 编辑

    ‘五心、四圆、三点、一线’:这些都是三角形的全部特殊点,以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心;“四圆”指,内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆;“三点”指,勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点;“一线”即{欧拉线}。

    ‘五心’的距离:

    OH²=9R²–(a²+b²+c²),

    OG²=R²–(a²+b²+c²)/9,

    OI²=R²–abc/(a+b+c)=R²–2Rr

    GH²=4OG²

    GI²=(p²+5r²–16Rr)/9,

    HI²=4R²-p²+3r²+4Rr=4R²+2r²-(a²+b²+c²)/2,

    其中,R是外接圆半径;r是内切圆半径。

    三角形的稳定性/三角形 编辑

    在所有平面多边形中,唯三角形具稳定性。(是力学现象,三角形构件不容易被外力改变原来的形状,例如‘铁塔’由许多三角形构成特别坚固)

    证明

    任取三角形两条边,则两条边的非公共端点被第三条长度固定的边连接:

    ∵第三条边不可伸缩或弯折

    ∴两端点距离固定

    ∴这两条边的夹角被固定而不变

    ∵这两条边是任取的

    ∴三角形的三个任意角都得到固定,进而将三角形固定

    ∴三角形有力学稳定性  (证毕)

    -------------

    证明“n边形(n≥4)没有稳定性”

    埃菲尔铁塔埃菲尔铁塔

    任取n边形(n≥4)两条相邻边,则两条边的非公共端点被不止一条边相连接:

    ∴角的两端点的距离不固定,

    ∴这两边的夹角不固定,

    ∴n边形(n≥4)每个角都不固定

    ∴n边形(n≥4)没有稳定性

    (证毕)

    作用

    三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形,有着稳固、坚定、耐压不容易变形的特点。三角形的结构在工程上有

    金字塔金字塔

    着广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构,如:埃菲尔铁塔,埃及金字塔等等。

    有关三角形的定理/三角形 编辑

    中位线定理

    中线定理

    三角形内角和定理

    三边关系定理

    勾股定理

    射影定理

    正弦定理

    余弦定理

    梅涅劳斯定理

    塞瓦定理

    莫利定理

    共角定理

    重心定理

    内心定理

    旁心定理

    欧拉线定理

    费尔巴哈定理

    拿破仑定理

      相关定理:/三角形 编辑

    重心定理

    三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.

    上述交点叫做三角形的重心.

    外心定理

    三角形的三边的垂直平分线交于一点.

    这点叫做三角形的外心.

    垂心定理

    三角形的三条高交于一点.

    这点叫做三角形的垂心.

    内心定理

    三角形的三内角平分线交于一点.

    这点叫做三角形的内心.

    旁心定理

    三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.

    这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

    三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.

    它们都是三角形的重要相关点.

    中位线定理

    三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

    三边关系定理

    三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

    勾股定理

    在Rt三角形ABC中,A≤90度,则

    AB·AB+AC·AC=BC·BC

    A〉90度,则

    AB·AB+AC·AC>BC·BC

    梅涅劳斯定理

    梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

    证明:

    过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

    则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

    三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

    它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。

    塞瓦定理

    设O是△ABC内任意一点,AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

    证明:

    (Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明:

    ∵△ADC被直线BOE所截,

    ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①

    而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

    ②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

    (Ⅱ)也可以利用面积关系证明

    ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

    同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

    ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

    利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

    设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,

    根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

    [(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。

    将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

    相关文献

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