数独

九宫格数独”是“ 数独”的同义词。

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数独是一种源自18世纪末的瑞士数学家莱昂哈德·保罗·欧拉(Leonhard Paul Euler,1707年4月15日-1783年9月18日)所创造的拉丁方阵游戏。相传数独源起于拉丁方阵(Latin Square),1970年代在美国发展,改名为数字拼图(Number Place)、之后流传至日本并发扬光大,以数学智力游戏智力拼图游戏发表。

编辑摘要
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  • 伯爵 数独分类中的词条太少了。希望更多的数独爱好者能完善!!

目录

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1 概念
2 元素
  1. 2.1 1.九宫格(Grid)
  2. 2.2 2.单元(Unit)画分
  3. 2.3 3.格位(Cell)编号
  4. 2.4 4.提示数(Clue)
3 数独的起源
4 近代发展
5 解题方法
6 解题手法
7 难度划分
8 9×9标准数独终盘数量
9 最少提示数的9×9标准数独
10 出题方法
11 变型数独
12 谜题
13 最新动态

数独 - 概念

数独例题

数独(すうどく,Sudoku)是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据9×9盘面上的已知数字,推理出所有剩余空格的数字,并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-9,不重复。
每一道合格的数独谜题都有且仅有唯一答案,推理方法也以此为基础,任何无解或多解的题目都是不合格的。

数独 - 元素

1.九宫格(Grid)

水平方向有九横行,垂直方向有九纵列的矩形,画分八十一个小矩形,称为九宫格(Grid),如图一所示,是数独(Sudoku)的作用范围。
GridGrid
 













2.单元(Unit)画分

2.1 水平方向的每一横行有九格,每一横行称为行(Row),编号如图二所示。  
RowRow
 











 
 
2.2 垂直方向的每一纵列有九格,每一纵列称为列(Column),编号如图三所示。
ColumnColumn
 













2.3 三行与三列相交之处有九格,每一单元称为小九宫(Box、Block),简称宫,如图四用粗线标示者。(在Killer数独中,宫往往用单词Nonet表示)
boxbox
 













 2.4 上述行、列、宫统称为单元(Unit)
 2.5 由三个连续宫组成大区块(chute),分大行区块(Floor)及大列区块(Tower)。
  第一大行区块:由第一宫、第二宫、第三宫组成。
  第二大行区块:由第四宫、第五宫、第六宫组成。
  第三大行区块:由第七宫、第八宫、第九宫组成。
  第一大列区块:由第一宫、第四宫、第七宫组成。
  第二大列区块:由第二宫、第五宫、第八宫组成。
  第三大列区块:由第三宫、第六宫、第九宫组成。

3.格位(Cell)编号

格位按所处的行列单元赋予座标值,如图五所示。
CellCell
 









座标有多种标示法,有横行 A..I,纵列 1..9(如中国),也有横行 1..9,纵列 A..I(如日本),这两种标示容易混淆,故最被广泛使用的是横行R1..R9,纵列C1..C9的标示法。

4.提示数(Clue)

在九宫格的格位填上一些数字,做为填数判断的线索(Hint),称为提示数(Clue),如图六所示。
ClueClue
 








 

数独 - 数独的起源

既然“数独”有一个字是“数”,人们也往往会联想到数学,那就不妨从大家都知道的数学家欧拉说起,但凡想了解数独历史的玩家在网络、书籍中搜索时,共同会提到的就是欧拉的“拉丁方块(Latin square)”,如下图:
拉丁方块(Latin square)拉丁方块(Latin square)
拉丁方块的规则:每一行(Row)、每一列(Column)均含1-N(N几盘面的规格),不重复。这与前面提到的标准数独非常相似,但少了一个宫的规则。

其实说到这里,有些人会想到《易经》当中的洛书九宫图:

洛书九宫图洛书九宫图

横、竖、斜方向的三数之和均是15,相信大家小学时候也都算过这个题目。所以也有人说数独的起源在中国。这点我们不得而知,但可以肯定的是,如今数独热潮已在全球蔓延。

数独 - 近代发展

20世纪70年代,人们在美国纽约的一本益智杂志《Math Puzzles and Logic Problems》上发现了这个游戏,当时被称为填数字(Number Place),这也是目前公认的数独最早的见报版本。1984年一位日本学者将其介绍到了日本,发表在Nikoli公司[1] 的一本游戏杂志《パズル通信ニコリ》上,当时起名为“Suuji wa dokushin ni kagiru”,后来觉得这个名字太长,就改名为“sudoku”,其中“su”是数字的意思,“doku”的单一的意思。这个名字也是目前国际上对数独的比较通用的叫法。

后来一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德(Wayne Gould)在1997年3月到日本东京旅游时,无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表,不久其他报纸也发表,很快便风靡全英国,之后他用了6年时间编写了电脑程式,并将它放在网站上(这个网站也就是著名的数独玩家论坛),

后来因一些原因,网站被关闭,幸好数独大师Glenn Fowler恢复了数据,玩家论坛有了新处所[2] 。在90年代国内就有部分的益智类书籍开始刊登,南海出版社在2005年出版了《数独1-2》,随后日本著名数独制题人西尾彻也的《数独挑战》也由辽宁教育出版社出版。现在《北京晚报》、《扬子晚报》、《羊城晚报》、《新民晚报》、《成都商报》等等报纸媒体也先后刊登了数独游戏。

数独 - 解题方法

解题的本质有二:隐性唯一解(Hidden Single)及显性唯一(Naked Single),他们的名称是在候选数法的基础上命名的。

根据解题本质发展出来的解题方法有二种:

1.摒除法:用数字去找单元内唯一可填空格,称为摒除法,数字可填唯一空格称为摒余解(隐性唯一解)。

根据不同的作用范围,摒余解可分为下述三种:

1.1 数字可填唯一空格在「宫」单元称为宫摒余解(Hidden Single in Box),这种解法称宫摒除法。
1.2 数字可填唯一空格在「行」单元称为行摒余解(Hidden Single in Row),这种解法称行摒除法。
1.3 数字可填唯一空格在「列」单元称为列摒余解(Hidden Single in Column),这种解法称列摒除法。
1.4 行摒余解和列摒余解合称行列摒余解(Hidden Single in Line)。
1.5 得到行列摒余解的方法称为行列摒除法。

2.余数法:用格位去找唯一可填数字,称为余数法,格位唯一可填数字称为唯余解(Naked Single)。

余数法是删减等位群格位(Peer)已出现的数字的方法,每一格位的等位群格位有 20 个,如图七所示。

PeerPeer

3.上述方法称为基础解法(Basic Techinques),其他所有的解法称为进阶解法(Advanced Techniques),是在补基本解法之不足,所以又称辅助解法。

进阶解法包括:区块摒除法(Locked Candidates)、数组法(Subset)、四角对角线(X-Wing)、唯一矩形(Unique Rectangle)、全双值坟墓(Bivalue Universal Grave)、单数链(X-Chain)、异数链(XY-Chain)及其他数链的高级技巧等等。目前已发展出来的方法有近百种之多。

其中前三种加上基础解法为一般数独书中介绍并使用的方法,同时也是大部分人可以理解并掌握的数独解题技法。

4.通过基础解法出数只需一种解法,摒除法或唯余法,超出此范围而需要施加进阶解法时,解题点需要进阶解法协助基础解法来满足隐性唯一或显性唯一才能出数,该解题点的解法需要多个步骤协力完成,因此称做组合解法。

5.解题必须以逻辑为依归,猜测的方法被称为暴力型解法(Brute Force),这不是提倡数独的本意。

数独 - 解题手法

依解题填制的过程可区分为直观法与候选数法。

1.直观法就是不做任何记号,直接从数独的盘势观察线索,推论答案的方法。

2.候选数法就是删减等位群格位已出现的数字,将剩余可填数字填入空格做为解题线索的参考,可填数字称为候选数(Candidates,或称备选数)。

直观法和候选数法只是填制时候是否有注记的区别,依照个人习惯而定,并非鉴定题目难度或技巧难度的标准,无论是难题或是简单题都可上述方法填制,一般程序解题以候选数法较多。

数独 - 难度划分

影响数独难度的因素很多,就题目本身而言,包括最高难度的技巧、各种技巧所用次数、是否有隐藏及隐藏的深度及广度的技巧组合、当前盘面可逻辑推导出的出数个数等等。对于玩家而言,了解的技巧数量、熟练程度、观察力自然也影响对一道题的难度判断。目前市面上数独刊物良莠不齐,在书籍、报纸、杂志中所列的难度或者大众解题时间纯属参考,常有难度错置的情况出现,所以不必特别在意。网络上有很多数独难度的分析软件,比较著名的是 Nicolas Juillerat 开发的 Sudoku Explainer[3] 和 Bernhard Hobiger 开发的 Hodoku[4] ,它们都是免费的软件。因为每种软件的都有不同的解题策略,所以也只能作为难度的大致界定,无法真正的解析出难度的内涵。

如果一道题目的提示数少,那么题目就会相对难,提示数多则会简单,这是一般人判断难易的思维模式,但数独谜题提示数的多寡与难易并无绝对关系,多提示数比少提示数难的情况屡见不鲜,同时也存在增加提示数之后题目反而变难的情形[5] ,即使是相同提示数(甚或相同谜题图形)也可以变化出各式各样的难度。提示数少对于出题的困难度则有比较直接的关系,以20-35提示数而言,每少一个提示数,其出题难度会增加数倍,在制作谜题时,提示数在22以下就非常困难,所以常见的数独题其提示数在23-30之间,其原因在于制作比较不困难,可以设计出比较漂亮的图形(Pattern),另外这个提示数范围的谜题变化多端是一个重要因素。

数独 - 9×9标准数独终盘数量

数独中的数字排列千变万化,那么究竟有多少种终盘的数字组合呢?

6,670,903,752,021,072,936,960(约有6.67×10的21次方)种组合,2005年由Bertram Felgenhauer和Frazer Jarvis计算出该数字,并将计算方法发布在他们网站上[6] ,如果将等价终盘(如旋转、翻转、行行对换,数字对换等变形)不计算,则有5,472,730,538个组合。数独终盘的组合数量都如此惊人,那么数独题目数量就更加不计其数了,因为每个数独终盘又可以制作出无数道合格的数独题目。

数独 - 最少提示数的9×9标准数独

17提示数9×9标准数独17提示数9×9标准数独

目前(截止2011年)发现的最少提示数9×9标准数独为17个提示,截止编辑此词条时间(2011.11.24 16:14),共发现了非等价17提示数谜题49151题,此数量仍在缓慢上升中,如果你先发现了17提示数的题目,可以上传至“17格数独验证”[7] 网站,当然你也可以在这里[8] 下载这49151题。

关于是否有16提示数的合格题目,网络上也争论很久,有发现16提示数双解的,但是仍未发现唯一解。国外有网友给出了关于为什么至少需要17提示的证明[9] ,受到了大家的质疑,比如9×9对角线数独(在标准数独规则基础上,两条大对角线的数字不重复)的最小提示数为12,按照他的理论则需要更多的提示数。

另外在2006年Gary McGuire撰写了程式[10] ,试图通过暴力法来证明16提示数的数独是否存在,方法很简单,既然Bertram Felgenhauer和Frazer Jarvis已经计算出不等价的终盘总数为5,472,730,538个,那么将每个终盘是16提示的情况都跑一遍,如果没有找到16提示的数独,那么就可以证明最少提示数为17个。但因为是暴力方法,对于一台单核的电脑来说需要跑30万年才能跑出结果。台湾的吴毅成教授和他的团队将Gary McGuire的程式加以改进,使得效率大幅提升,大约2417年即可完成演算。并放在BOINC(伯克利开放式网络计算平台)上让世界加入BOINC的电脑一同演算,令人欣喜的是,截至编辑本词条的时间(2011年12月1日19:28)已经完成了19.21%[11]

Gary McGuire的团队在2009年设计了新的算法,利用Deadly Pattern的思路,花费710万小时CPU时间后,于2012年1月1日提出了9×9标准数独不存在16提示唯一解的证明,继而说明最少需要17个提示数。并将他们的论文以及源代码更新在2006年的页面上[10]

数独 - 出题方法

标准数独的出题方法大致可分为2种:

1.从有到无——挖洞法

先生成一个终盘,然后挖去部分数字。

2.从无到有——填数法

在一个空盘面上填上部分数字。值得一提的是,2007年日本NPGenerator软件的网站[12] 提出了一种边推理边出题的出题法,可以手工打造出漂亮图案的数独题目,有兴趣出题的可以试试。

数独 - 变型数独

数独发展到现在,出现了越来越多的变型(Variants),按照规则划分则成百上千,各国的数独爱好者也不断制作出新的变型。下面列出最常见的三种变型:

1.对角线数独(Diagonal Sudoku、Sudoku-X):

在标准数独规则基础上,两条大对角线的数字不重复。

对角线数独对角线数独















2.锯齿数独(Jigsaw Sudoku):

相对标准数独而言,宫变成了不规则的。

锯齿数独锯齿数独















3.Killer数独

在标准数独规则的基础上,每个虚线框左上角的数字表示虚线框内所有数字之和,每个虚线框内数字无重复。 

killer数独killer数独















同时这3种基本变型也作为其他变型数独的雏形慢慢延伸开来,比如对角线数独引发了额外区域等,锯齿数独打破了宫是方方正正的定式,killer数独更是引发了更多计算类的数独。

其他变型数独:

窗口数独(Windoku) VX数独(VX Sudoku)箭头数独(Arrow Sudoku)
黑白点数独(Kropki)[13] 回文数独(Palindroms Sudoku)[14] 小九九数独(Product Sudoku)
棋步数独[15] 摩天楼数独(Skyscraper Sudoku)[16] 缺一门数独(BlackOut Sudoku)[17]
重叠数独(Offset Sudoku)[18] 蜂窝数独(Hanidoku)[19] 杀手数独(Little Killer Sudoku)[20]
四则数独(Mathdoku)[21] 算式数独(Sum Sudoku)[22] 折线数独(Creasing Sudoku)[23]

数独 - 谜题

谜题(Puzzle):排除文化差异对做题者的影响,只用数字和图形表示的逻辑推理游戏。数独是谜题中的一个成员,由于其规则简单、种类众多从而从众多谜题脱颖而出,成为大众熟知的数字谜题。

不过除了数独以外,还有不少谜题也非常出色,也有众多的拥护者,而且与数独有千丝万缕的关系。数独爱好者同样不能错过这些优秀的逻辑推理游戏。下面简单介绍几类谜题:

数和(Kakuro):与杀手数独很像的一类谜题,规则要求同行、同列(同一段)数字不能重复,且每段数字之和等于左边和上边的提示数字。

数图(Nonograms/Griddlers):根据盘面周围的数字提示,把盘中涂成符合条件的图案,很像“十字绣”。
数回slither Link):游戏由0,1,2,3四个数字组成。每一个数字,代表四周划线的数目,并在最后成为一个不间断、不分岔的回路。

数墙(Nurikabe):数墙的世界,是一个非黑即白的二元世界;在游戏中,你要决定的是,那些格子需要涂黑,那一些应该留白。

数连(Number Link):与数独一样,数连是一个简单明快的游戏。你只需要把属于相同数字的同伴,以线连接起来。不过,这个游戏看起来非常简单,实际上是很有深度的。

数独 - 最新动态

《现代汉语词典》第6版由商务印书馆出版。这一版增收了“数独”等3000多条词语[24]

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相关文献

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参考资料:
[1] ^ 引用日期:2011-12-07
[2] ^ 引用日期:2011-12-07
[3] ^ 引用日期:2011-12-07
[4] ^ 引用日期:2011-12-07
[5] ^ 引用日期:2011-12-08
[6] ^ 引用日期:2011-12-05
[7] ^ 引用日期:2011-12-05
[8] ^ 引用日期:2011-12-05
[9] ^ 引用日期:2011-12-05
[10] ^ 引用日期:2011-12-05
[11] ^ 引用日期:2011-12-05
[12] ^ 引用日期:2011-12-05
[13] ^ 引用日期:2011-12-07
[14] ^ 引用日期:2011-12-07
[15] ^ 引用日期:2011-12-07
[16] ^ 引用日期:2011-12-07
[17] ^ 引用日期:2011-12-07
[18] ^ 引用日期:2011-12-07
[19] ^ 引用日期:2011-12-07
[20] ^ 引用日期:2011-12-07
[21] ^ 引用日期:2011-12-07
[22] ^ 引用日期:2011-12-07
[23] ^ 引用日期:2011-12-07
[24] ^ 引用日期:2012-07-15
扩展阅读:
1Uwe Widmann创作数独

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