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  • 反三角函数

    反三角函数(Inverse of the trigonometric functions)就是三角函数的反函数。反三角函数是一种数学术语,是一种基本初等函数。反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数,是个多值函数。它是反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x这些函数的统称,各自表示其正弦余弦正切余切为x的角。为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在(-π/2,π/2)。

    编辑摘要

    基本信息 编辑信息模块

    中文名: 反三角函数 英文名: Inverse of the trigonometric functions
    属于: 数学术语 分类: 反正弦,反余弦,反正切,反余切
    等级: 初等 提出者: 欧拉

    目录

    概述/反三角函数 编辑

    三角函数反函数,是多值函数。它们是反正弦arcsin x,反余弦arccos x,反正切Arctan x,反余切arccot x,反正割arcsec x,反余割Arccsc x等,各自表示其正弦余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。

    相关介绍/反三角函数 编辑

    为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

    分类/反三角函数 编辑

    三角函数的反函数不是单值函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念,并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数,而不是 。
    为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

    反正弦函数

    y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。记作arcsinx,表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。

    反余弦函数

    y=cos x在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。记作arccosx,表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。定义域[-1,1] , 值域[0,π]。
    绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)
    绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)

    反正切函数

    y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。记作arctanx,表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。定义域R,值域(-π/2,π/2)。

    反余切函数

    绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x)绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x)
    y=cot x在[0,π)上的反函数,叫做反余切函数。记作arccotx,表示一个余切值为x的角,该角的范围在(0,π)区间内。定义域R,值域(0,π)。
    绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x)
    绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x)

    反正割函数

    y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数,叫做反正割函数。记作arcsecx,表示一个正割值为x的角,该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。

    反余割函数

    y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数,叫做反余割函数。记作arccscx,表示一个余割值为x的角,该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。

    数学公式/反三角函数 编辑

    基本

    secant(正割) Sec(X)=1/Cos(X) 
    cosecant(余割) Cosec(X) =1/Sin(X) 
    cotangent(余切) Cotan(X) =1/Tan(X) 
    Inverse Sine(反正弦) Arcsin(X) = Atn(X / Sqr(-X * X + 1)) 
    Inverse Secant(反正割)Arcsec(X)=Atn(X/Sqr(X* X-1))+Sgn((X)- 1) * (2 * Atn(1)) 
    Inverse Cosecant(反余割) Arccosec(X) =Atn(X/Sqr(X*X-1))+(Sgn(X)- 1)*(2*Atn(1)) 
    Inverse Cotangent(反余切) Arccotan(X)=Atn(X)+2*Atn(1)

    其他公式

    cos(arcsinx)=(1-x^2)^0.5
    arcsin(-x)=-arcsinx
    arccos(-x)=π-arccosx
    arctan(-x)=-arctanx
    arccot(-x)=π-arccotx
    arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
    sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x
    arcsinx=x+x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)+1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1)!!表示双阶乘
    arccosx=π-(x+x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)+1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)
    arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……
    举例
    当x∈[-π/2,π/2]有arcsin(sinx)=x
    x∈[0,π],arccos(cosx)=x
    x∈(-π/2,π/2),arctan(tanx)=x
    x∈(0,π),arccot(cotx)=x
    x>0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似
    若(arctanx+arctany)∈(-π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))
    例如,arcsinχ表示角α,满足α∈[-π/2,π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β,满足β∈[0,π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ,满足φ∈(-π/2,π/2)且tanφ=2

    数学术语/反三角函数 编辑

    为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
    反三角函数实际上并不能叫做函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数,而不是f-1(x).
    (1)正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。
    (2)余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。
    (3)正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。
    反三角函数主要是三个:
    y=arcsin(x),定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]图象用红色线条;
    y=arccos(x),定义域[-1,1] , 值域[0,π],图象用蓝色线条;
    y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;
    y=arccot(x),定义域(-∞,+∞),值域(0,π),图象用绿色线条;
    sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx
    证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得
    其他几个用类似方法可得
    cos(arccos x)=x, arccos(-x)=π-arccos x
    tan(arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx

    相关文献

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