实数

有理数、无理数的总称
1
4
实数有理数无理数的总称,前者如0、−4、817;后者如
等。实数可以直观地看作小数(有限或无限的),它们能把数轴“填满”。但仅仅以枚举的方式不能描述实数的全域,实数的全体称为实数集或实数域,记为
[1]实数和虚数共同构成复数[4]
实数可用于测量连续一维量(例如距离、持续时间或温度)。连续意味着值对可以有任意小的差异。每个实数几乎都可以通过无限十进制展开来唯一地表示。[5][3]
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现,只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度,这彻底地打击了他们的数学理念;而有理数集存在“缝隙”这一事实,由此引发了第一次数学危机[6]从古希腊一直到17世纪,数学家们才慢慢接受无理数的存在,并把它和有理数平等地看作数;后来有虚数概念的引入,为加以区别而称作“实数”,意即“实在的数”。在当时,尽管虚数已经出现并广为使用,实数的严格定义却仍然是个难题,以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后,才由十九世纪末的戴德金康托尔等人对实数进行了严格处理。[2][7]实数具有序性、绝对性、完备性、阿基米德性质。[2][8]
实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数。实数是微积分的基础,[3]可以运用到数学、生活、物理和计算机领域。[9][10][11][12]

定义