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  • 抽屉原理

    抽屉原理指的是桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。抽屉原理的一般含义为:如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里有两个元素。抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。为小学六年级课程。在上面的第一个结论中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中,不妨想象将5双手套分别编号,即号码为1,2,5的手套各有两只,同号的两只是一双。

    编辑摘要

    基本信息 编辑信息模块

    中文名: 抽屉原理 英文名: drawer principle
    别称: 鸽巢原理、重叠原理 提出者: 狄利克雷
    适用领域范围: 组合数学

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    基本简介/抽屉原理 编辑

    抽屉原理抽屉原理
    “任意367个人中,必有生日相同的人。”

    “从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。”

    “从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同。” 

    大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢?这个原理叫做抽屉原理。“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称“迪里赫莱原理”,也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果,任意分放在9个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的,但应用它却可以解决许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容,  它的内容可以用形象的语言表述为:

    “把m个东西任意分放进n个空抽屉里(m>n),那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”

    在上面的第一个结论中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入 366个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中,不妨想象将5双手套分别编号,即号码为1,2,...,5的手套各有两只,同号的两只是一双。任取6只手套,它们的编号至多有5种,因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。

     

    原理简介/抽屉原理 编辑

    抽屉原理抽屉原理
    第一抽屉原理

    原理1: 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

    证明(反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),故不可能。

    原理2 :把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。

    证明(反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能。

    原理3 :把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。

    原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

    第二抽屉原理

    把(mn——1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体(例如,将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中,则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。

    证明(反证法):若每个抽屉都有不少于m个物体,则总共至少有mn个物体,与题设矛盾,故不可能。 

     

    证明/抽屉原理 编辑

    这个问题可以用如下方法简单明了地证出:

    在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识,那么就在代表他们的两点间连成一条红线;否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB,AC,...,AF,它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色,不妨设AB,AC,AD同为红色。如果BC,BD ,CD 3条连线中有一条(不妨设为BC)也为红色,那么三角形ABC即一个红色三角形,A、B、C代表的3个人以前彼此相识:如果BC、BD、CD 3条连线全为蓝色,那么三角形BCD即一个蓝色三角形,B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生,都符合问题的结论。

    六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例,这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中,我们又一次看到了抽屉原理的应用。

    一般表述/抽屉原理 编辑

    在上面的第一个结论中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入 366个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中,不妨想象将5双手套分别编号,即号码为1,2,...,5的手套各有两只,同号的两只是一双。任取6只手套,它们的编号至多有5种,因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。
    抽屉原理的一种更一般的表述为:
    “把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉(k是正整数),那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”
    利用上述原理容易证明:“任意7个整数中,至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能,所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同,即它们两两之差是3的倍数。
    如果问题所讨论的对象有无限多个,抽屉原理还有另一种表述:
    “把无限多个东西任意分放进n个空抽屉(n是自然数),那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”
    用高斯函数来叙述一般形式的抽屉原理的是:将m个元素放入n个抽屉,则在其中一个抽屉里至少会有
    [(m-1)/n]+1个元素。
    抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。
    这个问题可以用如下方法简单明了地证出:
    在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识,那么就在代表他们的两点间连成一条红线;否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB,AC,...,AF,它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色,不妨设AB,AC,AD同为红色。如果BC,BD ,CD 3条连线中有一条(不妨设为BC)也为红色,那么三角形ABC即一个红色三角形,A、B、C代表的3个人以前彼此相识:如果BC、BD、CD 3条连线全为蓝色,那么三角形BCD即一个蓝色三角形,B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生,都符合问题的结论。
    六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例,这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中,我们又一次看到了抽屉原理的应用。

    表现形式/抽屉原理 编辑

    形式一:设把n+1个元素划分至n个集合中(A1,A2,…,An),用a1,a2,…,an分别表示这n个集合对应包含的元素个数,则:至少存在某个集合Ai,其包含元素个数值ai大于或等于2。
    证明:(反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有ai<2,则因为ai是整数,应有ai≤1,于是有:
    a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n<n+1,这与题设矛盾。
    所以,至少有一个ai≥2,即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
    形式二:设把nm+1个元素划分至n个集合中(A1,A2,…,An),用a1,a2,…,an表示这n个集合对应包含的元素个数,则:至少存在某个集合Ai,其包含元素个数值ai大于或等于m+1。
    证明:(反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有ai<m+1,则因为ai是整数,应有ai≤m,于是有:
    a1+a2+…+an≤m+m+…+m=nm<nm+1,这与题设相矛盾。
    所以,至少有存在一个ai≥m+1
    知识扩展——高斯函数[x]定义:对任意的实数x,[x]表示“不大于x的最大整数”。例如:[3.5]=3,[2.9]=2,[-2.5]=-3,[7]=7,……一般地,我们有:[x]≤x<[x]+1
    形式三:设把n个元素分为k个集合A1,A2,…,Ak,用a1,a2,…,ak表示这k个集合里相应的元素个数,需要证明至少存在某个ai大于或等于[n/k]。
    证明:(用反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有ai<[n/k],于是有:
    a1+a2+…+ak<[n/k]+[n/k]+…+[n/k] =k?[n/k]≤k?(n/k)=n
    k个[n/k] ∴ a1+a2+…+ak<n 这与题设相矛盾。所以,必有一个集合中元素个数大于或等于[n/k]
    形式四:设把q1+q2+…+qn-n+1个元素分为n个集合A1,A2,…,An,用a1,a2,…,an表示这n个集合里相应的元素个数,需要证明至少存在某个i,使得ai大于或等于qi。
    证明:(用反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有ai<qi,因为ai为整数,应有ai≤qi-1,
    于是有:a1+a2+…+an≤q1+q2+…+qn-n <q1+q2+…+qn-n+1这与题设矛盾。
    所以,假设不成立,故必有一个i,在第i个集合中元素个数ai≥qi
    形式五:证明:(用反证法)将无穷多个元素分为有限个集合,假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个,则有限个有限数相加,所得的数必是有限数,这就与题设产生矛盾,所以,假设不成立,故必有一个集合含有无穷多个元素。

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