牛顿迭代法

17世纪牛顿提出的方法
牛顿迭代法（Newton's method），又称牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法，是由英国物理学家艾萨克·牛顿在17世纪提出的近似求解方程的方法[1][2]。这种方法适用于实数域和复数域上的方程，尤其在方程的单根附近具有平方收敛特性。牛顿迭代法不仅可用于求解方程的实根，还可应用于求解方程的重根和复根[3]。

发展历史

由于许多方程没有通用的求根公式，使得精确求解变得极为困难，甚至是不可能的。在这种情况下，寻求方程的近似根就显得尤为重要。牛顿迭代法通过使用函数的泰勒级数的前几项来逼近方程的根。这种方法是求解方程根的重要工具之一，特别是在方程的单根附近具有平方收敛性质。此外，牛顿迭代法还被广泛应用于计算机编程中。

迭代公式

牛顿迭代法的基本思想是通过构造一系列的近似值序列来逐步逼近方程的根。具体而言，设f(x)是所求方程的解析表达式，x₀是初始近似值，通过构造过点(x₀,f(x₀))的切线来获得新的近似值。这一过程可以通过以下迭代公式来描述：