正交变换
任意欧氏空间内保持向量内积不变的线性变换
条目
历史版本
正交变换（英语：Orthogonal transformation），亦称全等变换或合同变换，是一类重要的线性变换，[3]其定义为：设σ是欧氏空间V的线性变换，如果对V的任意向量α，有(σ(α),σ(α))=(α,α)，则称σ是V的正交变换，它具有多种等价定义。[2][14]
正交变换的概念起源于19世纪中叶矩阵论的发展。矩阵一词最早由英国数学家西尔维斯特（J.J.Sylvester）[6]于1850年使用，它作为表达一个线性方程组的简单记法，与线性变换和行列式紧密相关。1858年，英国数学家凯莱（A.Cayley）发表了论文《矩阵论的研究报告》，文中系统地阐述了关于矩阵的理论，定义了矩阵的一系列基本概念。随后，约当（Jordan）[5]利用相似矩阵和特征方程的概念证明了矩阵经过变换可相似于一个“标准型”。1878年，德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius）[6]在讨论最小多项式问题过程中，引进矩阵的秩的概念，并在约当工作的基础上讨论了合同矩阵与合同变换（正交变换）。[15][16]1908年，德国的数学家闵可夫斯基（Hermann Minkowski）通过把一般的三维空间和时间结合，提出了四维空间的概念，后又被称为“闵可夫斯基时空”。[17][18]在四维空间中，正交变换可以推广成洛仑兹变换。[19]
正交变换是欧氏空间中保持向量内积不变的一种线性变换，[2]具有许多重要性质，如正交变换是可逆的且它的逆变换也是正交变换等。[13]它可以分为旋转变换、平移变换和镜面反射[11]两类，并都有相应的几何意义。[10][20]其他线性变换如对称变换[21]、酉变换[22]和仿射变换[23]等与正交变换密切相关。此外，正交变换在四维空间中可以推广成洛仑兹变换。[19]在现实世界中，正交变换具有广泛的应用价值，如在海洋学中，可设计一种处理要素场的正交变换方法，可使得建立模型的有关计算变得简便。[9]