对称群
含置换群为子类的有限群
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对称群（symmetric group），设X是一个集合（可以是无限集），X上的一个双射：a:X→X（即是置换）。集合X上的所有置换构成的族记为S(x)，S(x)关于映射的复合运算构成了一个群，当X是有限集时，设X中的元素个数为n，则称群S(x)为n次对称群。
对称群的定义
对称群是指含置换群为子类的一类具体的有限群。有限集合Ω上全体置换组成的群，称为Ω上对称群，记为S或Sym(Ω).由于当|Ω|=|Ω′|=n时，对称群S和S是置换同构的，所以也把S记为S.S的阶为n!.一切次数为n的置换群都可以看成S的子群.Ω上全体偶置换组成的群称为Ω上的交错群，记为A或Alt(Ω)，或A，若n=|Ω|，则A的阶为n!/2，它是S的指数为2的正规子群。S，A这两个群在置换群理论和抽象群论中占有特殊的地位。这一方面由于对一切n，S是n重传递群，而当n>2时，A是n-2重传递群；另一方面也由于当n≥5时，A为单群，它们是一类重要的有限单群。