二次剩余
判断二次同余式是否有解的理论
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研究一般的二次同余式αx2+bx+с0(modm)，可归结为讨论形如的同余式，其中m>1,(m,n)=1。
二次剩余
若它有解，则n叫作模m 的二次剩余；若它无解，则n叫作模m 的二次非剩余。设p 是一个奇素数，在模p的缩系中有
个二次剩余和个二次非剩余，且
就是模p的全部二次剩余。如果n是模p的二次剩余，则
，如果n是模p的二次非剩余，则
勒让德符号与二次互反律 设
,当n是模p的二次剩余，记为
；当n是模p 的二次非剩余，记为
。符号
叫做勒让德符号。它是 A.-M.勒让德于1798年引入的，对于计算n是否模p的二次剩余，带来很大的方便。勒让德符号有以下一些简单的性质：①当n呏n┡(modp)时，
；②
；③
,
；④
。因此，任给一个整数 n，只需计算
，
，
（q 为奇素数）这三种值。1801年，C.F.高斯证明了以下结果：设p 是奇素数，
，在
个数
模p的最小正剩余数中有l个大于
，则 
,一般叫做高斯引理。由高斯引理可知
。1801年，高斯还用这个引理证明了著名的二次互反律：设
是两个素数，
，则
，这是初等数论中至关重要的定理，它不仅能够方便地计算勒让德符号的值，而且在数论许多方面都非常有用。例：计算
,因为
，所以
=
。二次互反律由L.欧拉首先提出，而由高斯于1796年首先证明。后来，各种证明不断出现，迄今已有 150多个不同的证明。高斯自己就给出了好几个证明，其中第三个证明是运用高斯引理得出的。二次互反律引起许多数学家对代数数域中高次互反律的研究，从而使得在这个方面出现了不少意义深刻的工作。