交换环

乘法适合交换律的环
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乘法适合交换律的环。对交换环只有“理想”、“零化子”、“零因子”、“极小（大）条件”等定义，而不区分“左”“右”。无零因子的交换环叫做整环。数环与域F上的多项式环F【x】都是整环。整环不一定有单位元素，如偶数环。整环上的多项式环仍为整环。

正文

设R为有正则元的交换环。如果S是R中一些正则元作成的乘法封闭集合(即S中任二元素之积仍在S中)，那么R可扩张成一个有单位元素的交换环
叫做R关于S的分式环，使S的元素在垪[bìng]中恒有逆元素。特别地，当S为R中所有正则元作成的子集时（此时S自然地成为乘法封闭集合）,垪 就简称为R的分式环。又如果R是整环，那么R的分式环必为域，特称为R的分式域(或商域)。如整数环的分式域便是有理数域。
局部化 　设R是一个有单位元素e的交换环。它一定含有极大理想。所谓极大理想，是指R的一个理想N,满足条件:
,且N与R之间不能再介入R的其他理想。R的一个理想N是极大理想，必要而且只要，剩余类环
是域。当R只含一个极大理想时，就称之为局部环；当R只含有限多个极大理想时，就称之为半局部环。设P是R的一个质理想,S是P在R中的余集，在
中视
与
为同一元素，必要而且只要，有
使
。于是可把
定义成一个交换环，特记为
,并称为R在P处的局部化。它是局部环并以
为惟一的极大理想。如果对每个环R来说，R具有某个性质，必要而且只要对R的每个质理想P,Rp恒具有该性质，那么环的该性质称为局部性质。若要检验某环R是否具有某个局部性质，则只要检验每个Rp即可。由于Rp比R的结构简单，因此由局部特性来掌握整体特性是一个有效的手段。