紧空间

任意开覆盖都有有限子覆盖的拓扑空间
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紧空间（compact space）亦称紧致空间，是一类重要的拓扑空间，其定义为：若拓扑空间X的任意开覆盖都有有限子覆盖，则称X为紧空间。紧空间的条件包含多种等价形式，如具有有限交性质的闭集族有非空交、任意网有聚点等。[1]
19世纪70年代，德国数学家康托尔（Cantor）证明了所有实数的集合与所有整数的集合不能构成一一对应的集合，开始了抽象集合理论的研究。后来，他创建了一般集合论，逐渐引入了基数、开集、闭集等概念，一般拓扑学萌发于这一时期。[1][6][8]后来，数学家们开始研究常见拓扑空间中的紧致性概念，1906年，法国数学家费雷歇（Fréchet，Maurice-René）为了把集合论和函数空间研究统一起来，给出了度量空间的定义，并讨论了其紧性与完备性。[1][9]1914年，豪斯多夫（Felix Hausdorff）定义了一类足够广泛的拓扑空间，标志着一般拓扑学正式诞生。[1][9]1921年，菲托里斯（Vietoris , I.）给出了紧性的规范定义。[1]20世纪中后期，紧性、可数紧性以及序列紧性三者的关系成为了一般拓扑学的重要研究课题，夏贝尔（Chaber）在1984年证明了有
对角线的可数紧正则空间是紧致的。[10]
常见的紧空间有莫比乌斯带与克莱因瓶。[11]紧空间具备一些基本性质，如紧致空间的闭子集紧致，紧致空间在连续映射下的像也紧致等。[6]一些著名的定理，如波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、海涅-博雷尔定理描述了常见拓扑空间中的紧致性。[4]拓扑学中的分离性也与紧性密切相关。[5]此外，模糊拓扑与逻辑代数相结合，形成了一些新的拓扑结构，它们也具有紧致性的含义。[12]

定义

紧空间也称为紧致空间，是一类重要的拓扑空间。若拓扑空间
的任意开覆盖都有有限子覆盖，则称
为紧空间。该定义通过基和子基可描述为：若
为
的拓扑
的一个子基，且由
的元组成的
的每一个开覆盖有有限子覆盖，则
为紧空间。[13]