整环
有单位元1(≠0)的无零因子的交换环
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环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金（Dedekind）、哈密顿（Hamilton）等人对超复数系的建立和研究。[3]在19世纪之前，高次互反律一直占据着数论的核心，其中关键的是唯一因子分解问题。卡尔·弗里德里希·高斯（英语：Carl Friedrich Gauss,1777~1855）[2]在1829和1831年的两篇文章中阐述了双二次互反律，随后在1832年，高斯为解决四次互反律问题，引进了高斯整数（或复整数），由全部高斯整数构成的集合是高斯整环。之 后，二次代数整数环和分圆整数环相继出现。1844年，库默尔（Kummer）在高斯等人研究工作的基础上，引进理想数的概念，实现了唯一因子分解，解决了高次互反律的问题。1871年，戴德金引进理想，理想成为一种集合和计算对象 ，是代数整数环中的特殊的子环。在环论发展过程中，较为重要的是代数数域和代数函数域中的整数环以及多项式环，数学家埃米·诺特（Emmy Noether）[17]在1921年发表的论文《环中的理想论》（Idealtheorie in Ringbereichen）中将唯一因子分解理论从多项式环、代数数域以及代数函数域的整环扩展并抽象，得出带有升链条件的抽象的交换环，称为诺特环。[4][5]
整环具有一些基本性质，如任一除环必为整环，整环的子环必为整环，一个除环的任一子环是整环。[16]常见的整环有多项式环[12]、域[13]、欧几里得整环、主理想整环和戴德金整环以及高斯整环等。与环的运算性质一样，整环满足对加法和乘法运算的封闭性，[6]并且由它的整除性可推出相伴、不可约元和素元等概念。[18][19]在离散数学中，粗糙集合理论可应用到环论上，推广得到粗糙整环及一些相关结论。[20]整环在现实世界中具有广泛的应用价值，如在密码学中，应用整数环上的同态加密机制，能实现用一个弱的初始口令建立一个有捐助的、前向保密的会话密钥的过程。[7]