选择公理
断言集合存在选择函数的公理（AC）
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历史版本
选择公理起源于19世纪后半叶良序原则的证明。1883年，康托尔（Cantor,G.）提出了良序原则：“每个集合都可以被良序。”[3]1890年，逻辑学家佩亚诺（Peano,G.）在关于常微分方程的一篇文章中首次明确提到选择原则，并对它提出了怀疑。1904年，策梅洛（Zermelo,E.F.F.）用现代术语明确叙述了选择公理，并由此证明了良序原则。[2]20世纪初期，学者们肯定了选择公理在数学各分支中的应用价值，策梅洛的良序定理越来越多地被用在群论、环论、布尔代数以及格论中，在线性代数和域论中也有新的应用被发现。但是，选择公理也引起了争议，利用该公理会得到“奇怪”的结论，如1924年，波兰数学家巴拿赫（S.Banach）和塔尔斯基（A.Tarski）证明了“分球定理”。[4]
选择公理在集合论[7]、抽象代数[9]等数学分支中都有较多的等价命题，如良序定理[7]、佐恩引理[8]等。选择公理相对于ZF公理系统是独立的，由于一些争议的存在，它具有相对相容性。[2]可数选择公理[6]和相依选择公理[3]是选择公理的弱形式，但也有一些公理或假设强于选择公理。此外，该公理在数学证明中应用广泛，如它可以证明“一个具无穷多个节点的扇树有一个无穷支”。[10]