不动点理论
研究自映射不动点的理论
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不动点理论起源于19世纪末对于天体力学复杂问题的研究。法国数学家庞加莱（H.Poincaré）在《庞加莱的最后定理》一文中，把限制性三体问题周期解的存在问题归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。1910年，布劳威尔（L.E.J.Brouwer）证明了有限维空间中多面体上的连续映射至少有一个不动点，开启了不动点理论研究的先河。[2]该定理提出后，很多学者用不同方法对其进行了验证。[11]1930年，绍德尔（J.Schauder）给出了有限维线性空间中布劳威尔不动点定理在无限维空间中的一个推广。[3]1954年，克拉斯诺塞尔斯基（Krasnoselskii）将巴拿赫压缩映像原理与绍德尔不动点定理有机结合，证明了一个新的不动点定理。[4]此外，不动点理论中的定理可以应用于数学各分支学科的研究。1990年，扎吉尔（D.Zagier）给出了数论中费马平方和定理的一个构造性证明，使用不动点定理证明的拓扑和分析中的结果具有相似之处。[5]
不动点定理可分为拓扑型、代数型、混合型三种类型。[2]不动点指数为方程根重数的推广，[12]它也可以用莱夫谢茨不动点定理进行定义。[13]求解不动点的算法可分为四代，以人为始点算法、三明治算法为代表。[14]不动点理论在其他领域应用广泛，如经济学中，纳什均衡策略的存在性可以通过不动点定理来证明。[15]