偏微分方程
包含未知函数及其偏导数的等式
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偏微分方程（Partial Differential Equation）是方程论的基本概念之一[1]，其定义为：如果微分方程中的未知函数是多元函数，未知函数的导数是偏导数，则称其为偏微分方程[10]。
偏微分方程起源于微积分理论形成后不久，18世纪初，学者们开始结合物理问题研究数学方程。[4]瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在1734年提出了一种特殊的偏微分方程——弦振动的二阶方程[3][11]。后来，法国数学家达朗贝尔（d’Alembert）明确推导了弦振动方程，给出了其通解表达式，由此开创了偏微分方程这一学科[3][12]。1839年，德国数学家杜布瓦—雷蒙（Du Bois-Reymond）引入了偏微分方程的标准分类法。[4]法国数学家柯西（Cauchy）于1848年在他的一系列论文中将阶数大于
的偏微分方程化为一阶偏微分方程组，然后讨论了方程组解的存在性。其工作后来被柯瓦列夫斯卡娅（Kovalevskaya）独立地发展为一般的形式，并被发表在1875年的论文《偏微分方程理论》中。[3]20世纪，该理论进一步取得了飞快的发展，并收获关注和重视。法国数学家阿达马（Hadamard）建立了偏微分方程定解问题适定性的概念，他被誉为二阶线性偏微分方程的总结者[4]。2000年，美国克雷数学研究所将流动控制方程解的存在性与光滑性问题确定为千禧年七大数学难题之一[13][14]。
偏微分方程按历史发展过程可分为线性、半线性、拟线性和完全非线性四种类型[15]；按方程形式的角度来说，可分为椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方程[4]。偏微分方程的解法主要有解析解法、半解析解法和数值解法三种类型[4][16]。此外，该概念可广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域[17]，如物理学中，薛定谔方程可以用于描述量子力学中势场内的粒子状态[18]。