拉普拉斯算子

欧几里德空间的二阶微分算子
在数学以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英语：Laplace operator, Laplacian）是一个微分算子，通常写成 Δ 或 ∇²；这是为了纪念皮埃尔-西蒙·拉普拉斯而命名的。拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。

定义

拉普拉斯算子是
维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（
）的散度（
）。因此如果
是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：
作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把
函数映射到
函数，对于
。算子
，或更一般地，定义了一个算子
，对于任何开集
。